Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 x + 0 y + 2 z \\ 2 x + 1 y + 1 z \\ 6 x + 4 y + 1 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} x + 2 z \\ 2 x + y + z \\ 6 x + 4 y + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 2

Write as a linear system of equations.

$x + 2 z = 1$

$2 x + y + z = - 2$

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $2 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 - 2 z$

$2 x + y + z = - 2$

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $1 - 2 z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $x$ in $2 x + y + z = - 2$ durch $1 - 2 z$ .

$2 (1 - 2 z) + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (1 - 2 z) + y + z$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 z) + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 (- 2 z) + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 - 4 z + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

$2 - 4 z + y + z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere $- 4 z$ und $z$ .

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $x$ in $6 x + 4 y + z = 3$ durch $1 - 2 z$ .

$6 (1 - 2 z) + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache $6 (1 - 2 z) + 4 y + z$ .

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Schritt 3.2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cdot 1 + 6 (- 2 z) + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.2.4.1.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + 6 (- 2 z) + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.2.4.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$6 - 12 z + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 - 12 z + 4 y + z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.2.4.1.2

Addiere $- 12 z$ und $z$ .

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$2 + y - 3 z = - 2$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 3 z = - 2 - 2$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.3.2

Addiere $3 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 - 2 + 3 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$y = - 4 + 3 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$x = 1 - 2 z$

$y = - 4 + 3 z$

$6 + 4 y - 11 z = 3$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 4 + 3 z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $y$ in $6 + 4 y - 11 z = 3$ durch $- 4 + 3 z$ .

$6 + 4 (- 4 + 3 z) - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $6 + 4 (- 4 + 3 z) - 11 z$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 + 4 \cdot - 4 + 4 (3 z) - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$6 - 16 + 4 (3 z) - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$6 - 16 + 12 z - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$6 - 16 + 12 z - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Subtrahiere $16$ von $6$ .

$- 10 + 12 z - 11 z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Subtrahiere $11 z$ von $12 z$ .

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.5

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 3 + 10$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.5.2

Addiere $3$ und $10$ .

$z = 13$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$z = 13$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $13$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Ersetze alle $z$ in $y = - 4 + 3 z$ durch $13$ .

$y = - 4 + 3 (13)$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache $- 4 + 3 (13)$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $13$ .

$y = - 4 + 39$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.6.2.1.2

Addiere $- 4$ und $39$ .

$y = 35$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

$y = 35$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

$y = 35$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $z$ in $x = 1 - 2 z$ durch $13$ .

$x = 1 - 2 \cdot 13$

$y = 35$

$z = 13$

Schritt 3.6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.4.1

Vereinfache $1 - 2 \cdot 13$ .

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Schritt 3.6.4.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $13$ .

$x = 1 - 26$

$y = 35$

$z = 13$

Schritt 3.6.4.1.2

Subtrahiere $26$ von $1$ .

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = - 25, y = 35, z = 13$