Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 1 6 & 4 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ \cdot ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 2 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 1 6 & 4 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

3 \times 3

$3 \times 3$ and the second matrix is

3 \times 1

$3 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 x + 0 y + 2 z 2 x + 1 y + 1 z 6 x + 4 y + 1 z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 2 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 x + 0 y + 2 z \\ 2 x + 1 y + 1 z \\ 6 x + 4 y + 1 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x + 2 z 2 x + y + z 6 x + 4 y + z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 2 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x + 2 z \\ 2 x + y + z \\ 6 x + 4 y + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x + 2 z 2 x + y + z 6 x + 4 y + z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 2 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x + 2 z \\ 2 x + y + z \\ 6 x + 4 y + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}]$

Schritt 2

Write as a linear system of equations.

x + 2 z = 1

$x + 2 z = 1$

2 x + y + z = - 2

$2 x + y + z = - 2$

6 x + 4 y + z = 3

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere

2 z

$2 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

2 x + y + z = - 2

$2 x + y + z = - 2$

6 x + 4 y + z = 3

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von

x

$x$ durch

1 - 2 z

$1 - 2 z$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze alle

x

$x$ in

2 x + y + z = - 2

$2 x + y + z = - 2$ durch

1 - 2 z

$1 - 2 z$ .

2 (1 - 2 z) + y + z = - 2

$2 (1 - 2 z) + y + z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 x + 4 y + z = 3

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache

2 (1 - 2 z) + y + z

$2 (1 - 2 z) + y + z$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

2 \cdot 1 + 2 (- 2 z) + y + z = - 2

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 z) + y + z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 x + 4 y + z = 3

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

2 + 2 (- 2 z) + y + z = - 2

$2 + 2 (- 2 z) + y + z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 x + 4 y + z = 3

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

2 - 4 z + y + z = - 2

$2 - 4 z + y + z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 x + 4 y + z = 3

$6 x + 4 y + z = 3$

2 - 4 z + y + z = - 2

$2 - 4 z + y + z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 x + 4 y + z = 3

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere

- 4 z

$- 4 z$ und

z

$z$ .

2 + y - 3 z = - 2

$2 + y - 3 z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 x + 4 y + z = 3

$6 x + 4 y + z = 3$

2 + y - 3 z = - 2

$2 + y - 3 z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 x + 4 y + z = 3

$6 x + 4 y + z = 3$

2 + y - 3 z = - 2

$2 + y - 3 z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 x + 4 y + z = 3

$6 x + 4 y + z = 3$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle

x

$x$ in

6 x + 4 y + z = 3

$6 x + 4 y + z = 3$ durch

1 - 2 z

$1 - 2 z$ .

6 (1 - 2 z) + 4 y + z = 3

$6 (1 - 2 z) + 4 y + z = 3$

2 + y - 3 z = - 2

$2 + y - 3 z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Vereinfache

6 (1 - 2 z) + 4 y + z

$6 (1 - 2 z) + 4 y + z$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

6 \cdot 1 + 6 (- 2 z) + 4 y + z = 3

$6 \cdot 1 + 6 (- 2 z) + 4 y + z = 3$

2 + y - 3 z = - 2

$2 + y - 3 z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.2.4.1.1.2

Mutltipliziere

6

$6$ mit

1

$1$ .

6 + 6 (- 2 z) + 4 y + z = 3

$6 + 6 (- 2 z) + 4 y + z = 3$

2 + y - 3 z = - 2

$2 + y - 3 z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.2.4.1.1.3

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

6

$6$ .

6 - 12 z + 4 y + z = 3

$6 - 12 z + 4 y + z = 3$

2 + y - 3 z = - 2

$2 + y - 3 z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 - 12 z + 4 y + z = 3

$6 - 12 z + 4 y + z = 3$

2 + y - 3 z = - 2

$2 + y - 3 z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.2.4.1.2

Addiere

- 12 z

$- 12 z$ und

z

$z$ .

6 + 4 y - 11 z = 3

$6 + 4 y - 11 z = 3$

2 + y - 3 z = - 2

$2 + y - 3 z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 + 4 y - 11 z = 3

$6 + 4 y - 11 z = 3$

2 + y - 3 z = - 2

$2 + y - 3 z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 + 4 y - 11 z = 3

$6 + 4 y - 11 z = 3$

2 + y - 3 z = - 2

$2 + y - 3 z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 + 4 y - 11 z = 3

$6 + 4 y - 11 z = 3$

2 + y - 3 z = - 2

$2 + y - 3 z = - 2$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht

y

$y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Subtrahiere

2

$2$ von beiden Seiten der Gleichung.

y - 3 z = - 2 - 2

$y - 3 z = - 2 - 2$

6 + 4 y - 11 z = 3

$6 + 4 y - 11 z = 3$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.3.2

Addiere

3 z

$3 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

y = - 2 - 2 + 3 z

$y = - 2 - 2 + 3 z$

6 + 4 y - 11 z = 3

$6 + 4 y - 11 z = 3$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere

2

$2$ von

- 2

$- 2$ .

y = - 4 + 3 z

$y = - 4 + 3 z$

6 + 4 y - 11 z = 3

$6 + 4 y - 11 z = 3$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

y = - 4 + 3 z

$y = - 4 + 3 z$

6 + 4 y - 11 z = 3

$6 + 4 y - 11 z = 3$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von

y

$y$ durch

- 4 + 3 z

$- 4 + 3 z$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Ersetze alle

y

$y$ in

6 + 4 y - 11 z = 3

$6 + 4 y - 11 z = 3$ durch

- 4 + 3 z

$- 4 + 3 z$ .

6 + 4 (- 4 + 3 z) - 11 z = 3

$6 + 4 (- 4 + 3 z) - 11 z = 3$

y = - 4 + 3 z

$y = - 4 + 3 z$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Vereinfache

6 + 4 (- 4 + 3 z) - 11 z

$6 + 4 (- 4 + 3 z) - 11 z$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

6 + 4 \cdot - 4 + 4 (3 z) - 11 z = 3

$6 + 4 \cdot - 4 + 4 (3 z) - 11 z = 3$

y = - 4 + 3 z

$y = - 4 + 3 z$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere

4

$4$ mit

- 4

$- 4$ .

6 - 16 + 4 (3 z) - 11 z = 3

$6 - 16 + 4 (3 z) - 11 z = 3$

y = - 4 + 3 z

$y = - 4 + 3 z$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Mutltipliziere

3

$3$ mit

4

$4$ .

6 - 16 + 12 z - 11 z = 3

$6 - 16 + 12 z - 11 z = 3$

y = - 4 + 3 z

$y = - 4 + 3 z$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

6 - 16 + 12 z - 11 z = 3

$6 - 16 + 12 z - 11 z = 3$

y = - 4 + 3 z

$y = - 4 + 3 z$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.2.1

Subtrahiere

16

$16$ von

6

$6$ .

- 10 + 12 z - 11 z = 3

$- 10 + 12 z - 11 z = 3$

y = - 4 + 3 z

$y = - 4 + 3 z$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Subtrahiere

11 z

$11 z$ von

12 z

$12 z$ .

- 10 + z = 3

$- 10 + z = 3$

y = - 4 + 3 z

$y = - 4 + 3 z$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

- 10 + z = 3

$- 10 + z = 3$

y = - 4 + 3 z

$y = - 4 + 3 z$

x = 1 - 2 z

$x = 1 - 2 z$

- 10 + z = 3

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$- 10 + z = 3$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.5

Bringe alle Terme, die nicht

$z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Addiere

$10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z = 3 + 10$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.5.2

Addiere

$3$ und

$10$ .

$z = 13$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

$z = 13$

$y = - 4 + 3 z$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von

$z$ durch

$13$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Ersetze alle

$z$ in

$y = - 4 + 3 z$ durch

$13$ .

$y = - 4 + 3 (13)$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Vereinfache

$- 4 + 3 (13)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$13$ .

$y = - 4 + 39$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.6.2.1.2

Addiere

$- 4$ und

$39$ .

$y = 35$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

$y = 35$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

$y = 35$

$z = 13$

$x = 1 - 2 z$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle

$z$ in

$x = 1 - 2 z$ durch

$13$ .

$x = 1 - 2 \cdot 13$

$y = 35$

$z = 13$

Schritt 3.6.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1

Vereinfache

$1 - 2 \cdot 13$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$13$ .

$x = 1 - 26$

$y = 35$

$z = 13$

Schritt 3.6.4.1.2

Subtrahiere

$26$ von

$1$ .

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

$x = - 25$

$y = 35$

$z = 13$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = - 25, y = 35, z = 13$